Cara Gampang Memilih Tanda Pada Garis Bilangan Dalam Menuntaskan Pertidaksamaan - Tips Marthen Kanginan

Dalam menyelesaikan suatu pertidaksamaan, menciptakan garis bilangan yaitu salah satu tahapan yang perlu kita lakukan, terutama bila pertidaksamaan tersebut mempunyai beberapa titik kritis atau pembuat nol seolah-olah pertidaksamaan polynomial atau pertidaksamaan rasional . Secara umum, berikut inilah tahapan-tahapan dalam menyelesaikan pertidaksamaan:

1. Jadikan ruas kanan pertidaksamaan bernilai $0$
2. Faktorkan / tentukan titik kritis (pembuat nol)
3. Buat garis bilangan
4. Tentukan tanda $+$ atau $-$ setiap interval pada garis bilangan
5. Tentukan himpunan penyelesaian.

Untuk pertidaksamaan linear dan pertidaksamaan kuadrat, masih bisa dengan praktis kita selesaikan bahkan tanpa menciptakan garis bilangan. Namun untuk pertidaksamaan yang memuat beberpa faktor atau mempunyai banyak titik kritis, menciptakan garis bilangan menjadi hal yang perlu untuk kita lakukan dalam memilih himpunan penyelesaian, seolah-olah pertidaksamaan berikut ini:

$\displaystyle x^2 \left(2x-3\right)^3 \left(x-3\right)^2 \left(2x-7\right)\lt 0$

Pertidaksamaan di atas, mempunyai $4$ titik kritis, yaitu $x=0$, $x=\frac{3}{2}$, $x=3$ dan $x=\frac{7}{2}$, sehingga bila kita buat garis bilangannya sebagai berikut:

Seperti kita lihat pada garis bilangan di atas, $4$ titik kritis mengakibatkan terbentuknya lima buah interval (daerah) yang perlu kita uji tanda pada masing-masing interval apakah $+$ atau $-$. Jika kita lakukan pengujian dengan mengambil sembarang titik uji pada masing-masing interval, contohnya pada interval I $(x\lt 0)$ kita ambil $x=-1$ sebagai titik uji, pada interval II $(0\lt x\lt \frac{3}{2})$ kita ambil $x=1$ sebagai titik uji, bagaimana dengan interval IV $\left( 3\lt x\lt \frac{7}{2}\right)$? tentunya kita tidak bisa mengambil $x$ bilangan lingkaran sebagai titik uji, tentu ini akan cukup "merepotkan". Berikut ini tips cara praktis memilih tanda $+$ atau $-$ pada garis bilangan tanpa memakai titik uji.

  Tips Marthen Kanginan

Bagi yang berkecimpung di "dunia" matematika dan fisika niscaya sudah tidak aneh dengan nama Marthen Kanginan, sudah banyak buku karya dia yang beredar dan menyampaikan santunan yang sangat besar untuk pendidikan di negeri ini, sama halnya seolah-olah penulis besar lainnya seolah-olah Pak Sukino (salah satu wangsit kreatif pak Sukino yaitu Horner-Kino ), Pak Suwah Sembiring, Pak Husein Tampomas dan penulis lainnya yang sudah menyampaikan wangsit dan karya luar biasa untuk kita manfaatkan, biar kesehatan selalu menyertai dia semua (saya rekomendasikan anda membeli buku karya-karya beliau, InsyaAlloh sangat bermanfaat).

Salah satu tips yang di berikan pak Marthen Kanginan yaitu bagaimana cara praktis memilih tanda $+$ atau $-$ pada garis bilangan dalam menyelesaiakan pertidaksamaan tanpa menggunkan titik uji. Berikut ini langkah-langkah tips Marthen Kanginan :

   Tips Marthen Kanginan

Cara praktis memilih tanda pada garis bilangan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

  Tentukan tanda pada tempat paling kanan hanya dengan mengalikan koefisien $x$ dari tiap-tiap fakor

Untuk tempat (interval lainnya), gunakan hukum sebagai berikut: "ketika melewati titik kritis, tanda bergantian kecuali ketika melewati titik kritis yang berasal dari $x^2$ atau $(ax+b)^2$ atau $(ax+b)^n$ dengan $n$ genap maka tanda tetap.

Sebagai contoh, kita akan menyelesaikan pertidaksamaan yang tadi, sebagai berikut:

$\displaystyle x^2 \left(2x-3\right)^3 \left(x-3\right)^2 \left(2x-7\right)\lt 0$

Dari pertidaksamaan di atas, kita peroleh titik kritis $x=0$, $x=\frac{3}{2}$, $x=3$ dan $x=\frac{7}{2}$, maka garis bilangannya sebagai berikut:

Langkah pertama dari tips Marthen Kanginan yaitu kita tentukan tanda pada interval paling kanan, dalam soal ini berarti interval V. Tanda pada interval paling kanan ditentukan oleh koefisien dari masing-masing variable $x$ setiap faktor. Maka kita peroleh:

$(x^2)(2x)(x)(2x)=$ Positif

Maka tempat paling kanan bernilai faktual $(+)$

Berikutnya, kita tentukan tanda pada interval lainnya dengan hukum jika melewati titik kritis yang berasal dari faktor berpangkat genap, maka tanda tetap. 

Pada pertidaksamaan di atas,

$\frac{7}{2}$ berasal dari $(2x-7)$ (pangkat ganjil) maka dikala melewati $\frac{7}{2}$ tanda berubah
$3$ berasal dari $(x-3)^2$ (pangkat genap) maka dikala melewati $3$ tanda tetap
$\frac{3}{2}$ berasal dari $(2x-3)^3$ (pangkat ganjil) maka dikala melewati $\frac{3}{2}$ tanda berubah
$0$ berasal dari $x^2$ (pangkat genap), maka dikala melewati $0$ tanda tetap

untuk lebih jelasnya perhatikan garis bilangan berikut

Maka penyelesaian pertidaksamaan $x^2(2x-3)^3(x-3)^2(2x-7)\lt 0 $ yaitu tempat dengan tanda negatif alasannya yaitu pertidaksamaan mempunyai tanda $\lt 0$ (negatif), maka penyelesaiannya seolah-olah ditunjukkan oleh gambar berikut:

Yaitu: $\displaystyle\frac{3}{2}\lt x\lt 3$ atau $\displaystyle 3\lt x\lt\frac{7}{2}$

Untuk lebih jelas, perhatikan beberapa teladan lain berikut ini:

Contoh 1

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)\leq 0$

Jawab:

Titik kritis pertidaksamaan di atas yaitu $x=1$, $x=2$, $x=3$, dan $x=4$. Interval paling kanan positif, titik kritis yang berasal dari faktor dengan pangkat genap yaitu $x=2$, dengan demikian tanda tidak berubah ketika melewati $x=2$ maka garis bilangannya adalah:

Bulatan pada garis bilangan "penuh/berisi" karena, tanda pada pertidaksamaan $\leq 0$ memuat tanda sama dengan, artinya titik kritis termasuk penyelesaian. Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)\leq 0$ yaitu $x\leq 1$ atau $3\leq x\leq 4$

---

Contoh 2

Tentukan penyelesaian dari $\displaystyle\frac{(x-1)(x-2)^3}{(x-3)^2(x-4)}\geq 0$

Jawab:

Titik kritis pertidaksamaan di atas yaitu $x=1$, $x=2$, $x=3$ dan $x=4$. Tanda pada interval paling kanan positif, alasannya yaitu koefisien semua variabel $x$ positif. Titik kritis yang berasal dari faktor pangkat genap yaitu $x=3$, dengan demikian tanda tidak berubah dikala melewati $x=3$.

Meskipun tanda pada pertidaksamaan memuat sama dengan $(\geq 0)$, namun untuk titik kritis yang berasal dari penyebut diberi "bulatan kosong", artinya titik kritis tersebut tidak termasuk penyelesaian.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(x-2)^3}{(x-3)^2(x-4)}\geq 0$ yaitu $1\leq x\leq 2$ atau $x\gt 4$

---

Contoh 3

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2(2x^2-x)\lt x^2(2x+5)$  

Jawab:

\begin{align*}x^2(2x^2-x)-x^2(2x+5)&\lt 0\\ x^2((2x^2-x)-(2x+5))&\lt 0\\x^2(2x^2-3x-5 )&\lt 0\\x^2(2x-5)(x+1)&\lt 0\end{align*}

Titik kritis $x=0$, $x=\frac{5}{2}$ dan $x=-1$. Tanda pada interval paling kanan positif. Titik kritis yang berasal dari faktor dengan pangkat genap yaitu $x=0$, maka dikala melewati $x=0$ tanda tidak berubah.

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan $x^2(2x^2-x)\lt x^2(2x+5)$ yaitu $-1\lt x\lt 0$ atau $0\lt x\lt \frac{5}{2}$

Jika anda masih belum paham, sebaiknya lihat video pembahasannya disini

Demikianlah cara praktis memilih tanda $+$ atau $-$ garis bilangan dengan tips Marthen Kanginan. Semoga bermanfaat.

Untuk latihan pertidaksamaan secara online bisa anda coba soal berikut ini

Bagikan Artikel ini