Cara Menuntaskan Pertidaksamaan Rasional Atau Pertidaksamaan Penggalan (Matematika Wajib Kelas X)

Pertidaksamaan rasional adalah  pertidaksamaan yang berbentuk potongan dengan pembilang dan penyebut memuat variabel atau hanya penyebutnya saja yang memuat variabel. Berikut ini beberapa acuan pertidaksamaan rasional.

$\displaystyle\frac{2x-1}{x+3}\geq 0$

$\displaystyle\frac{x^2-1}{x+7}\leq 5$

$\displaystyle\frac{5}{2x-1}\gt \frac{x+1}{x-5}$

Di atas, ada 3 acuan pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan potongan dengan bentuk yang berbeda. Namun, bagaimanapun bentuknya, pertidaksamaan rasional selalu bisa diubah sehingga menjadi salah satu dari bentuk umum pertidaksamaan rasional sebagai berikut:

$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\lt 0$ atau $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0$

$\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\gt 0$ atau $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0$

Dengan $f(x)$ sebagai fungsi pembilang dan $g(x)$ sebagai fungsi penyebut dan $g(x)\ne 0$.

Bagaimana Cara Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional?

---

Berikut ini beberapa langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional atau pertidaksamaan pecahan:

Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan rasional:

Ubah ruas kanan pertidaksamaan menjadi nol
 Jika fungsi pembilang atau fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka faktorkan
 Cari titik kritis atau pembuat nol fungsi pembilang dan fungsi penyebut
 Gambar pada garis bilangan
 Lakukan pengujian tempat yang dibatasi titik kritis pada garis bilangan
 Tentukan himpunan penyelesaian

Perlu diingat bahwa penyebut dilarang bernilai nol, dengan demikian ketika menggambar garis bilangan, titik kritis yang diperoleh dari penyebut selalu digambarkan dengan bulatan kosong, artinya titik tersebut tidak termasuk penyelesaian meskipun tanda pertidaksamaan pada soal memuat tanda sama dengan ($\leq$ atau $\geq$).

Contoh Soal dan Penyelesaian

---

Untuk lebih memahami cara menyelesaiakan pertidaksamaan rasional, perhatikan acuan soal dan pembahasan berikut ini.

Soal pertama yang akan kita selesaiakan ialah pertidaksamaan rasional berikut:

$\displaystyle\frac{5x-20}{x-5}\leq 3$

Langkah pertama, kita perlu mengakibatkan ruas kanan pada pertidaksamaan menjadi nol, yaitu dengan dengan mengurangi kedua ruas dengan $3$, kemudian sederhanakan bentuk pada ruas kiri dengan menyamakan penyebutnya

$\begin{align*}\frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 3-3\\ \frac{5x-20}{x-5}-3&\leq 0 \\ \frac{5x-20}{x-5}-\frac{3(x-5)}{x-5}&\leq 0\\ \frac{5x-20-3x+15}{x-5}&\leq 0\\ \frac{2x-5}{x-5}&\leq 0\end{align*}$

Langkah kedua, kita tentukan titik kritis, yaitu pembuat nol pada pembilang dan penyebut.

Pembuat nol pada pembilang ialah $\displaystyle 2x-5=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$

Pembuat nol pada penyebut ialah $\displaystyle x-5=0\Leftrightarrow x=5$

Langkah ketiga, kita buat garis bilangan yang memuat beberapa tempat yang dibatasi oleh titik kritis yang kita peroleh dari langkah kedua, dan perlu diingat pada titik kritis yang diperoleh dari penyebut digambarkan dengan tanda bulatan kosong meskipun pertidaksamaan yang sedang kita selesaikan $\leq$.

Langkah keempat, tentukan tanda masing-masing tempat pada garis bilangan dengan melaksanakan pengujian.

Pada garis bilangan di atas, kita peroleh tiga daerah, yaitu $x\leq\frac{5}{2}$ kita sebut saja "daerah kiri",  tempat $\frac{5}{2}\leq x \lt 5$ kita sebut sebagai "daerah tengah" dan tempat $x\gt 5$ kita sebut sebagai "daerah kanan".

Pada masing-masing tempat tersebut kita ambil sembarang angka penguji, misal untuk tempat kiri $(x\leq \frac{5}{2})$ saya ambil $x=0$, untuk tempat tengah $(\frac{5}{2}\leq x\lt 5)$ saya ambil $x=3$, dan untuk tempat kanan $(x\gt 5)$ saya ambil $x=6$ sebagai penguji. Dengan mensubstitusi titik-titik penguji tersebut ke fungsi rasional $\displaystyle \frac{2x-5}{x-5}$ maka kita peroleh:

Titik Uji	$2x-5$	$x-5$	$\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}$
$x=0$	$(-)$	$(-)$	$\frac{(-)}{(-)}=(+)$
$x=3$	$(+)$	$(-)$	$\frac{(+)}{(-)}=(-)$
$x=6$	$(+)$	$(+)$	$\frac{(+)}{(+)}=(+)$

Baca juga : Cara mudah memilih tanda $+$ dan $-$ garis bilangan tanpa titik uji

kita peroleh

Langkah kelima, kita tentukan himpunan penyelesaian dengan kembali memperhatikan tanda pertidaksamaan dan tanda pada garis bilangan.

Pertidaksamaan $\displaystyle\frac{2x-5}{x-5}\leq 0$ mempunyai tanda pertidaksamaan $\leq$, dengan demikian himpunan penyelesaiannya ialah yang bertanda negatif atau atau nol $(\leq 0)$, yaitu tempat tengah pada garis bilangan tadi.

maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle \frac{5x-20}{x-5}\leq 3$ ialah $\left\{x | \frac{5}{2}\leq x \lt 5, x\in R\right\}$

Masalah Pertidaksamaan Rasional Yang Memuat Faktor Persekutuan Pembilang dan Penyebut

---

Berikutnya, kita akan mencoba menyelesaiak pertidaksamaan berikut ini:
$$\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$$

Dengan mengurangi kedua ruas dengan 1 kita peroleh:

$\begin{align*}\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 1-1\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-1&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}-\frac{x^2-3x-10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-3x^2-8x-10-x^2+3x+10}{x^2-3x-10}&\lt 0\\ \frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-3x-10}&\lt 0\end{align*}$

Berikutnya, kita faktorkan pembilang dan penyebut sehingga kita peroleh

$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)}{(x+2)(x-5)}\lt 0$

Seperti yang kita lihat, terdapat faktor komplotan pada pembilang dan penyebut, yaitu $(x-5)$, pada pertidaksamaan rasional faktor komplotan dilarang kita sederhanakan atau bahkan kita hilangkan, hal yang umum dilakukan kalau terdapat faktor komplotan contohnya $(ax+b)$ maka kita kalikan dengan $(ax+b)^2$ yang sudah terperinci kasatmata dan tidak merubah tanda pertidaksamaan. Jadi, untuk pertidaksamaan di atas, kedua ruas kita kali dengan $(x-5)^2$ dengan $x\ne 5$ sehingga kita peroleh:

$\displaystyle\frac{x(x+1)(x-5)^2}{x+2}\lt 0$

titik kritis (pembuat nol) dari pembilang dan penyebut yang kita peroleh adalah: $x=0$, $x=-1$, $x=5$ dan $x=-2$, maka bisa kita buat garis bilangan sebagai berikut:

Dengan melaksanakan pengujian masing-masing daerah, kita peroleh tanda sebagai berikut:

tanda yang diminta pada pertidaksamaan terakhir ialah $\lt 0$ atau negatif, dipenuhi oleh tempat yang diarsir berikut:

maka himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{x^3-3x^2-8x-10}{x^2-3x-10}\lt 1$ ialah $\{x| x\lt -2\text{ atau }-1\lt x \lt 0, x\in R\}$


Masalah Pertidaksamaan Rasional yang Memuat Fungsi Definit

---

Secara bahasa, definit artinya pasti. Dalam matematika terutama yang berkaitan dengan fungsi kuadrat dikenal dua definit yaitu definit kasatmata dan definit negatif. Definit kasatmata artinya fungsi tersebut selalu menghasilkan nilai kasatmata untuk setiap $x$ anggota bilangan real, dan definit negatif artinya fungsi selalu menghasilkan nilai negatif untuk setiap $x$ anggota bilangan real.

Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit kasatmata kalau $a\gt 0$ dan $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu positif.

Fungsi kuadrat $y=ax^2+bx+c$ dikatakan definit negatif kalau $a\lt 0$ dan $b^2-4ac\lt 0$, maka untuk berapapun nilai $x$ anggota bilangan real, nilai $y$ selalu negatif.

Perhatikan acuan pertidaksamaan rasional berikut:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ ialah ....

Penyelesaian:

$\begin{align*}\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}-1&\lt 0 \\ \frac{(2x^2+2x-4)-(x^2+4)}{(x^2+4)}&\lt 0\\ \frac{x^2+2x-8}{x^2+4}&\lt 0\end{align*}$

Karena $x^2+4$ merupakan definit positif, maka kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya saja.

$\begin{align*}x^2+2x-8&\lt 0\\(x+4)(x-2)&\lt 0\end{align*}$

Titik kritisnya ialah $x=-4$ dan $x=2$, maka garis bilangannya sebagai berikut:

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\displaystyle\frac{(x-1)(2x+4)}{(x^2+4)}\lt 1$ ialah $\{x | -4\lt x\lt 2\}$

Jika anda sudah paham, silakan coba soal online pertidaksamaan rasional berikut sebagai materi latihan. Semoga bermanfaat, demikianlah materi pertidaksamaan rasional kelas X matematika wajib.

Bagikan Artikel ini