Cara Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Pangkat Tiga Dilengkapi Soal Penerapan
Materi ihwal pangkat (eksponen) dan akar sudah diperkenalkan semenjak SMP, termasuk bagaimana cara merasionalkan bentuk bilangan pecahan dengan penyebut berbentuk akar. Namun sebagian besar tumpuan berguru yang dipakai di sekolah hanya sebatas merasionalkan bentuk akar kuadrat. Masih jarang buku yang membahas bagaimana cara merasionalkan bentuk akar pangkat tiga. Padahal, cara merasionalkan bentuk akar pangkat tiga sangat penting sebagai penunjang bahan lainnya, contohnya dalam merampungkan limit fungsi aljabar yang memuat akar pangkat tiga tanpa menggunkan dalil L'Hopital.
Kita sudah diperkenalkan cara merasionalkan bentuk pecahan dengan penyebut akar kuadrat yakni dengan mengalikan dengan bentuk sekawannya, contohnya $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}-2}$ bisa kita rasionalkan dengan mengalikannya dengan $\displaystyle\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}$ lantaran bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt{5}-2$ yakni $\displaystyle \sqrt{5}+2$. Lalu bagaimana cara merasionalkan bentuk ini $\displaystyle\frac{3}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}$?. Jika anda pikir cara merasionalkan bentuk tersebut yakni dengan mengalikannya dengan $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{2}}$ maka anda keliru. Untuk bisa menyelesaikannya mari kita pahami terlebih dahulu mengenai definisi dari bentuk akar sekawan berikut.
Apa Definisi Dari Akar Sekawan?
Informasi:
Tulisan pada laman ini memuat persamaan matematika yang cukup panjang dan tidak responsive pada media mobile, jikalau tampilan persamaan matematika di smartphone anda terpotong, silakan buka laman ini dalam mode landscape, Sangat disarankan membuka laman ini via PC/Laptop
Tulisan pada laman ini memuat persamaan matematika yang cukup panjang dan tidak responsive pada media mobile, jikalau tampilan persamaan matematika di smartphone anda terpotong, silakan buka laman ini dalam mode landscape, Sangat disarankan membuka laman ini via PC/Laptop
Apa Definisi Dari Akar Sekawan?
Bersumber dari Ensiklopedia Matematika yang ditulis oleh ST. Nugroho dan B. Harahap, definisi dari akar sekawan yakni sebagai berikut:
$\displaystyle\sqrt{a}+\sqrt{b}$ sekawan dengan $\displaystyle\sqrt{a}-\sqrt{b}$ lantaran $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$
Perhatikan beberapa tumpuan akar sekawan berikut:
$2-\sqrt{3}$ sekawan dengan $2+\sqrt{3}$ lantaran $\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1$
$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ sekawan dengan $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ lantaran $\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)=5-2=3$
$\sqrt{8}$ sekawan dengan$\sqrt{2}$, lantaran $\sqrt{8}\times\sqrt{2}=\sqrt{16}=4$
Bentuk Sekawan Akar Pangkat Tiga
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$, sebab:
$\begin{align*}\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{a^2}&=a^{\frac{1}{3}}\times a^{\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{3}{3}}\\&=a^1\\&=a\end{align*}$
Sekarang, bagaimana bentuk akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$?
Bentuk akar sekawan dari bentuk di atas pastinya harus menyebabkan "muncul" pangkat tiga pada kedua suku bentuk akar di atas, bentuk aljabar sebagai landasan yang akan kita gunakan yakni sebagai berikut:
$\begin{align*}x^3-y^3&=(x-y)(x^2+xy+y^2)\\x^3+y^3&=(x+y)(x^2-xy+y^2)\end{align*}$
Contoh, akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}$ yakni $\displaystyle\left(\sqrt[3]{5}\right)^2+\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{2}+\left(\sqrt[3]{2}\right)^2$ atau bisa juga ditulis $\displaystyle\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}$ sebab:
$\begin{align*}\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}\right)&=\left(\sqrt[3]{5}\right)^3-\left(\sqrt[3]{2}\right)^3\\&=5-2\\&=3\end{align*}$
Berikut ini bentuk-bentuk akar sekawan akar pangkat tiga:
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle a-\sqrt[3]{b}$ yakni $\displaystyle a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle a+\sqrt[3]{b}$ yakni $\displaystyle a^2-a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}-b$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+b\sqrt[3]{a}+b^2$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}+b$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-b\sqrt[3]{a}+b^2$
Merasionalkan Penyebut Akar Pangkat Tiga
Setelah mengetahui bentuk sekawan akar pangkat tiga, kini kita akan memakai bentuk sekawan tersebut untuk merasionalkan penyebut akar pangkat tiga, perhatikan beberapa tumpuan di bawah ini:
Contoh 1
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}$ yakni ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}$ yakni $\sqrt[3]{4}$
$\begin{align*}\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}&=\frac{9\sqrt[3]{4}}{2\times 2}\\&=\frac{9}{4}\sqrt[3]{4}\end{align*}$
Contoh 2
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}$ yakni ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}$ yakni $\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}$ maka:
$\begin{align*}\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{7-2}\\&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{5}\\&=\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\end{align*}$
Contoh 3
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}$ yakni ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}+1$ yakni $\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1$
$\begin{align*}\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}\times\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}&=\frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1\right)}{2+1}\\&=\frac{\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{1}{3}\left(2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)\end{align*}$
Contoh Penerapan dalam Menyelesaikan Masalah Limit
Berikut ini tumpuan soal limit yang melibatkan akar pangkat tiga,
$\displaystyle\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=$ ....
Jika kita substitusi pribadi $x=8$, maka akan kita peroleh bentuk tak tentu $\displaystyle\frac{0}{0}$, dengan demikin diharapkan manupulasi aljabar untuk menyelesaikannya dengan cara menghilangkan faktor komplotan pembilang dan penyebut yang mengakibatkan nilai $\displaystyle\frac{0}{0}$.
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{x}-2$ yakni $\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4$, dan $\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)=x-8$ maka:
$\begin{align*}\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}\times\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}&=\lim_{x\to 8}\frac{(x-8)(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4)}{x-8}\\&=\lim_{x\to 8}\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\\&=\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4\\&=4+4+4\\&=12\end{align*}$
Demikianlah cara merasionalkan penyebut akar pangkat tiga yang bisa aku bahas.
Semoga bermanfaat
Definisi Akar Sekawan
Dua bentuk akar dikatakan sekawan jikalau hasil kali kedua bilangan irasional (bentuk akar) yakni bilangan rasional
Dua bentuk akar dikatakan sekawan jikalau hasil kali kedua bilangan irasional (bentuk akar) yakni bilangan rasional
$\displaystyle\sqrt{a}+\sqrt{b}$ sekawan dengan $\displaystyle\sqrt{a}-\sqrt{b}$ lantaran $\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)=a-b$
Perhatikan beberapa tumpuan akar sekawan berikut:
$2-\sqrt{3}$ sekawan dengan $2+\sqrt{3}$ lantaran $\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1$
$\sqrt{5}+\sqrt{2}$ sekawan dengan $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ lantaran $\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)=5-2=3$
$\sqrt{8}$ sekawan dengan$\sqrt{2}$, lantaran $\sqrt{8}\times\sqrt{2}=\sqrt{16}=4$
Bentuk Sekawan Akar Pangkat Tiga
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$, sebab:
$\begin{align*}\sqrt[3]{a}\times\sqrt[3]{a^2}&=a^{\frac{1}{3}}\times a^{\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}\\&=a^{\frac{3}{3}}\\&=a^1\\&=a\end{align*}$
Sekarang, bagaimana bentuk akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$?
Bentuk akar sekawan dari bentuk di atas pastinya harus menyebabkan "muncul" pangkat tiga pada kedua suku bentuk akar di atas, bentuk aljabar sebagai landasan yang akan kita gunakan yakni sebagai berikut:
$\begin{align*}x^3-y^3&=(x-y)(x^2+xy+y^2)\\x^3+y^3&=(x+y)(x^2-xy+y^2)\end{align*}$
Contoh, akar sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}$ yakni $\displaystyle\left(\sqrt[3]{5}\right)^2+\sqrt[3]{5}.\sqrt[3]{2}+\left(\sqrt[3]{2}\right)^2$ atau bisa juga ditulis $\displaystyle\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}$ sebab:
$\begin{align*}\left(\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}\right)\left(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{4}\right)&=\left(\sqrt[3]{5}\right)^3-\left(\sqrt[3]{2}\right)^3\\&=5-2\\&=3\end{align*}$
Berikut ini bentuk-bentuk akar sekawan akar pangkat tiga:
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle a-\sqrt[3]{b}$ yakni $\displaystyle a^2+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle a+\sqrt[3]{b}$ yakni $\displaystyle a^2-a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}-b$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}+b\sqrt[3]{a}+b^2$
Bentuk sekawan dari $\displaystyle \sqrt[3]{a}+b$ yakni $\displaystyle\sqrt[3]{a^2}-b\sqrt[3]{a}+b^2$
Merasionalkan Penyebut Akar Pangkat Tiga
Setelah mengetahui bentuk sekawan akar pangkat tiga, kini kita akan memakai bentuk sekawan tersebut untuk merasionalkan penyebut akar pangkat tiga, perhatikan beberapa tumpuan di bawah ini:
Contoh 1
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}$ yakni ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}$ yakni $\sqrt[3]{4}$
$\begin{align*}\frac{9}{2\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}}&=\frac{9\sqrt[3]{4}}{2\times 2}\\&=\frac{9}{4}\sqrt[3]{4}\end{align*}$
Contoh 2
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}$ yakni ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}$ yakni $\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}$ maka:
$\begin{align*}\frac{5}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{2}}\times\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}}&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{7-2}\\&=\frac{5\left(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\right)}{5}\\&=\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{4}\end{align*}$
Contoh 3
Bentuk rasional dari $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}$ yakni ....
Jawab:
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{2}+1$ yakni $\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1$
$\begin{align*}\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}+1}\times\frac{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1}&=\frac{\sqrt[3]{2}\left(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1\right)}{2+1}\\&=\frac{\sqrt[3]{8}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}{3}\\&=\frac{1}{3}\left(2-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}\right)\end{align*}$
Contoh Penerapan dalam Menyelesaikan Masalah Limit
Berikut ini tumpuan soal limit yang melibatkan akar pangkat tiga,
$\displaystyle\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}=$ ....
Jika kita substitusi pribadi $x=8$, maka akan kita peroleh bentuk tak tentu $\displaystyle\frac{0}{0}$, dengan demikin diharapkan manupulasi aljabar untuk menyelesaikannya dengan cara menghilangkan faktor komplotan pembilang dan penyebut yang mengakibatkan nilai $\displaystyle\frac{0}{0}$.
Bentuk akar sekawan dari $\sqrt[3]{x}-2$ yakni $\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4$, dan $\left(\sqrt[3]{x}-2\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\right)=x-8$ maka:
$\begin{align*}\lim_{x\to 8}\frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2}\times\frac{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}{\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4}&=\lim_{x\to 8}\frac{(x-8)(\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4)}{x-8}\\&=\lim_{x\to 8}\sqrt[3]{x^2}+2\sqrt[3]{x}+4\\&=\sqrt[3]{64}+2\sqrt[3]{8}+4\\&=4+4+4\\&=12\end{align*}$
Demikianlah cara merasionalkan penyebut akar pangkat tiga yang bisa aku bahas.
Semoga bermanfaat
Belum ada Komentar untuk "Cara Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar Pangkat Tiga Dilengkapi Soal Penerapan"
Posting Komentar