Memahami Komposisi Fungsi - Matematika Wajib Kelas 10 Kurikulum 2013
Komposisi fungsi merupakan penggabungan dua atau lebih fungsi dengan hukum tertentu. Komposisi fungsi umumnya disimbolkan dengan simbol "$\circ$" yang dibaca : "bundaran". Prinsip komposisi fungsi bisa kita analogikan mirip beberapa mesin untuk memproduksi suatu produk. Misalnya mesin 1 mengolah materi mentah menjadi materi setengah jadi lalu materi setengah jadi tersebut diolah oleh mesin 2 sehingga menjadi suatu produk. Dalam contoh tersebut, contohnya banyaknya materi mentah yaitu $x$ diolah oleh mesin 1 sehingga diperoleh materi setengah jadi mengikuti fungsi $f$ dan diperoleh materi setengah jadi sebanyak $f(x)$. Bahan setengah jadi sebanyak $f(x)$ lalu diolah oleh fungsi $g$ sehingga diperoleh suatu produk sebanyak $g(f(x))$. Notasi $g(f(x))$ inilah yang disebut sebagai komposisi fungsi, bisa pula dinyatakan dengan $(g\circ f)(x)$ dibaca: $g$ bundaran $f$. $(g \circ f)(x)$ merupakan komposisi fungsi $g$ terhadap $f$. Untuk lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini:
Syarat Komposisi Fungsi
Fungsi $f$ dan fungsi $g$ bisa di komposisikan menjadi $(f\circ g)(x)$ kalau memenuhi syarat: "irisan kawasan hasil (range) fungsi $g$ (fungsi pertama) dan kawasan asal (domain) fungsi $f$ (fungsi kedua) tidak sama dengan himpunan kosong" atau bisa ditulis $R_g \cap D_f \ne \varnothing$. Dengan kata lain, komposisi dua buah fungsi akan terdefinisi kalau terdapat irisan antara kawasan hasil fungsi pertama dan kawasan asal fungsi kedua.
Fungsi $f$ dan fungsi $g$ bisa di komposisikan menjadi $(f\circ g)(x)$ kalau memenuhi syarat: "irisan kawasan hasil (range) fungsi $g$ (fungsi pertama) dan kawasan asal (domain) fungsi $f$ (fungsi kedua) tidak sama dengan himpunan kosong" atau bisa ditulis $R_g \cap D_f \ne \varnothing$. Dengan kata lain, komposisi dua buah fungsi akan terdefinisi kalau terdapat irisan antara kawasan hasil fungsi pertama dan kawasan asal fungsi kedua.
Contoh:
Diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut
Diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut
$f:\{(1,5),(2,3),(3,4),(4,3)\}$
$g:\{(1,1),(2,3),(6,2)\}$
Selidikilah apakah $(f\circ g)(x)$ dan $(g\circ f)(x)$ terdefinisi?
Jawab:
untuk menilik apakah $(f\circ g)(x)$ terdefinisi atau tidak, kita perlu mengetahui kawasan hasil (range) dari $g$ dan kawasan asal dari $f$.
$R_g=\{1, 2, 3\}$
$D_f=\{1, 2, 3, 4\}$
$R_g\cap D_f =\{1, 2, 3\}$
Karena $R_g\cap D_f\ne \varnothing$, maka $(f\circ g)(x)$ terdefinisi
untuk menilik apakah $(g\circ f)(x)$ terdefinisi atau tidak, kita perlu mengetahui kawasan hasil (range) dari $f$ dan kawasan asalh (domain) dari $g$
$R_f=\{3, 4, 5\}$
$D_g=\{1, 2, 6\}$
$R_f\cap D_g=\varnothing$
Karena $R_f\cap D_g=\varnothing$, maka$(g\circ f)(x)$ tidak terdefinisi
Sifat-sifat komposisi Fungsi
Diketahui $f$, $g$ dan $h$ suatu fungsi dan $I(x)=x$ suatu fungsi identitas. Jika $R_h\cap D_g\ne \varnothing$, $R_g\cap D_f\ne \varnothing$ dan $R_I\cap D_f\ne \varnothing$ maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1. Tidak berlaku sifat komutatif
2. Berlaku sifat asosiatif
3. Berlaku sifat identitas
Beberapa Contoh Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi
Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal komposisi fungsi dengan bentuk soal yang variatif terdiri dari soal harian (umum), soal ujian nasional dan soal SBMPTN (soal seleksi masuk PTN) dan beberapa diantaranya masuk kategori soal HOTS (Higher Order Thinking Skills).
Contoh 1 (Ujian Nasional 2016 Matematika IPA)
Diketahui $f:R\to R$ dan $g: R\to R$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2 -2x-3$ dan $g(x)=x+6$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)$ yaitu ....
A. $(f\circ g)(x)=x^2-2x+3$
B. $(f\circ g)(x)=x^2-2x-9$
C. $(f\circ g)(x)=x^2+10x-21$
D. $(f\circ g)(x)=x^2+10x+21$
E. $(f\circ g)(x)=x^2-10x-21$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=(x+6)^2-2(x+6)-3\\&=x^2+12x+36-2x-12-3\\&=x^2+10x+21\end{align*}$
Contoh 2
Diketahui $f(x)=3x-1$ dan $g(x)=2x^2-3$. Komposisi fungsi $(g\circ f)(x)$ yaitu ....
A. $9x^2-3x+1$
B. $9x^2-6x+3$
C. $9x^2-6x+6$
D. $18x^2-12x-2$
E. $18x^2-12x-1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=2(3x-1)^2-3\\&=2(9x^2-6x+1)-3\\&=18x^2-12x+2-3\\&=18x^2-12x-1\end{align*}$
Contoh 3
Diketahui $(f\circ g)(x)=4x^2+20x+23$ dan $g(x)=2x+5$. Rumus fungsi $f(x)$ yaitu ....
A. $x^2-2$
B. $2x^2-1$
C. $\frac{1}{2}x^2-2$
D. $\frac{1}{2}x^2+2$
E. $\frac{1}{2}x^2-1$
Pembahasan:
Misal $2x+5=p$ maka $x=\frac{p-5}{2}$
$\begin{align*}(f\circ g)(x) &=4x^2+20x+23 \\ f(g(x))&=4x^2+20x+23 \\ f(2x+5)&=4x^2+20x+23 \\ f(p)&=4\left(\frac{p-5}{2}\right)^2+20\left(\frac{p-5}{2}\right) +23\\&=4\left(\frac{p^2-10p+25}{4}\right)+10(p-5)+23\\&=p^2-10p+25+10p-50+23\\&=p^2-2\end{align*}$
Jadi, $f(x)=x^2-2$
Contoh 4
Diketahui $(f\circ g)(x)=2x^2+4x+5$ dan $f(x)=2x+3$, maka $g(x)=$ ....
A. $x^2+2x+1$
B. $x^2+2x+2$
C. $2x^2+x+2$
D. $2x^2+4x+2$
E. $2x^2+4x+1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=2x^2+4x+5\\ f(g(x))&=2x^2+4x+5\\2(g(x))+3&=2x^2+4x+5\\2(g(x))&=2x^2+4x+5-3\\2(g(x))&=2x^2+4x+2\\g(x)&=x^2+2x+1\end{align*}$
Contoh 5 (Ujian Nasional 2017 Matematika IPA)
Diketahui fungsi $f:R\to R$, dan $g:R\to R$ dengan $g(x)=-x+3$ dan $(f\circ g)(x)=4x^2-26x+32$, maka nilai $f(1)$ yaitu ....
A. $-5$
B. $-4$
C. $-3$
D. $3$
E. $4$
Pembahasan:
Perhatikan bahwa $(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$, untuk mencari nilai $f(1)$ kita perlu menciptakan $g(x)=1$.
$\begin{align*}g(x)&=-x+3\\1&=-x+3\\x&=3-1\\x&=2\end{align*}$
Jadi $g(2)=1$
$\begin{align*}f(g(x))&=4x^2-26x+32 \\ f(g(2))&=4(2)^2-26(2)+32\\f(1)&=4(4)-52+32\\&=16-20\\&=-4\end{align*}$
Contoh 6 (Ujian Nasional 2018 Matematika IPA - HOTS)
Untuk menambah uang saku, Didi berniat membantu kakaknya berjualan makanan. Didi akan mendapatkan uang saku menurut jumlah masakan yang terjual pada hari tersebut dengan fungsi $P(x)=1.000x+200$, dengan $P$ yaitu uang saku dalam rupiah dan $x$ yaitu jumlah masakan yang terjual. Ternyata, jumlah masakan yang terjual tergantung pada waktu yang dipakai Didi untuk berjualan dengan $x=f(t)=3t+2$, dengan $t$ yaitu waktu dalam jam. Uang saku yang diperoleh Didi kalau ia berjualan selama 3 jam suatu hari libur yaitu ....
A. Rp11.500,00
B. Rp11.200,00
C. Rp10.500,00
D. Rp10.200,00
E. Rp9.500,00
Pembahasan:
$\begin{align*}P(f(t)))&=1.000(3t+2)+200\\&=3.000t+2.000+200\\&=3.000t+2.200\end{align*}$
untuk $t=3$
$\begin{align*}P(f(3))&=3.000(3)+2.200\\&=9.000+2.200\\&=11.200\end{align*}$
Contoh 7 (SBMPTN 2016 Kode 317)
Perhatikan tabel berikut
Maka $(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)=$ ....
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $5$
Pembahasan:
Dari tabel kita peroleh:
$g(1)=0$, $f(0)=1$, $g(2)=1$, $f(1)=3$, dan $g(3)=2$
Maka:
$\begin{align*}(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)&=f(g(1))+g(f(g(2)))\\&=f(0)+g(f(1))\\&=1+g(3)\\&=1+2\\&=3\end{align*}$
$g:\{(1,1),(2,3),(6,2)\}$
Selidikilah apakah $(f\circ g)(x)$ dan $(g\circ f)(x)$ terdefinisi?
Jawab:
untuk menilik apakah $(f\circ g)(x)$ terdefinisi atau tidak, kita perlu mengetahui kawasan hasil (range) dari $g$ dan kawasan asal dari $f$.
$R_g=\{1, 2, 3\}$
$D_f=\{1, 2, 3, 4\}$
$R_g\cap D_f =\{1, 2, 3\}$
Karena $R_g\cap D_f\ne \varnothing$, maka $(f\circ g)(x)$ terdefinisi
untuk menilik apakah $(g\circ f)(x)$ terdefinisi atau tidak, kita perlu mengetahui kawasan hasil (range) dari $f$ dan kawasan asalh (domain) dari $g$
$R_f=\{3, 4, 5\}$
$D_g=\{1, 2, 6\}$
$R_f\cap D_g=\varnothing$
Karena $R_f\cap D_g=\varnothing$, maka$(g\circ f)(x)$ tidak terdefinisi
Sifat-sifat komposisi Fungsi
Diketahui $f$, $g$ dan $h$ suatu fungsi dan $I(x)=x$ suatu fungsi identitas. Jika $R_h\cap D_g\ne \varnothing$, $R_g\cap D_f\ne \varnothing$ dan $R_I\cap D_f\ne \varnothing$ maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1. Tidak berlaku sifat komutatif
$g\circ f \ne f \circ g$
2. Berlaku sifat asosiatif
$f\circ (g\circ h)=(f \circ g)\circ h$
3. Berlaku sifat identitas
$f\circ I=I\circ f = f$
Beberapa Contoh Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi
Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal komposisi fungsi dengan bentuk soal yang variatif terdiri dari soal harian (umum), soal ujian nasional dan soal SBMPTN (soal seleksi masuk PTN) dan beberapa diantaranya masuk kategori soal HOTS (Higher Order Thinking Skills).
Contoh 1 (Ujian Nasional 2016 Matematika IPA)
Diketahui $f:R\to R$ dan $g: R\to R$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2 -2x-3$ dan $g(x)=x+6$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)$ yaitu ....
A. $(f\circ g)(x)=x^2-2x+3$
B. $(f\circ g)(x)=x^2-2x-9$
C. $(f\circ g)(x)=x^2+10x-21$
D. $(f\circ g)(x)=x^2+10x+21$
E. $(f\circ g)(x)=x^2-10x-21$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=(x+6)^2-2(x+6)-3\\&=x^2+12x+36-2x-12-3\\&=x^2+10x+21\end{align*}$
Contoh 2
Diketahui $f(x)=3x-1$ dan $g(x)=2x^2-3$. Komposisi fungsi $(g\circ f)(x)$ yaitu ....
A. $9x^2-3x+1$
B. $9x^2-6x+3$
C. $9x^2-6x+6$
D. $18x^2-12x-2$
E. $18x^2-12x-1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=2(3x-1)^2-3\\&=2(9x^2-6x+1)-3\\&=18x^2-12x+2-3\\&=18x^2-12x-1\end{align*}$
Contoh 3
Diketahui $(f\circ g)(x)=4x^2+20x+23$ dan $g(x)=2x+5$. Rumus fungsi $f(x)$ yaitu ....
A. $x^2-2$
B. $2x^2-1$
C. $\frac{1}{2}x^2-2$
D. $\frac{1}{2}x^2+2$
E. $\frac{1}{2}x^2-1$
Pembahasan:
Misal $2x+5=p$ maka $x=\frac{p-5}{2}$
$\begin{align*}(f\circ g)(x) &=4x^2+20x+23 \\ f(g(x))&=4x^2+20x+23 \\ f(2x+5)&=4x^2+20x+23 \\ f(p)&=4\left(\frac{p-5}{2}\right)^2+20\left(\frac{p-5}{2}\right) +23\\&=4\left(\frac{p^2-10p+25}{4}\right)+10(p-5)+23\\&=p^2-10p+25+10p-50+23\\&=p^2-2\end{align*}$
Jadi, $f(x)=x^2-2$
Contoh 4
Diketahui $(f\circ g)(x)=2x^2+4x+5$ dan $f(x)=2x+3$, maka $g(x)=$ ....
A. $x^2+2x+1$
B. $x^2+2x+2$
C. $2x^2+x+2$
D. $2x^2+4x+2$
E. $2x^2+4x+1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=2x^2+4x+5\\ f(g(x))&=2x^2+4x+5\\2(g(x))+3&=2x^2+4x+5\\2(g(x))&=2x^2+4x+5-3\\2(g(x))&=2x^2+4x+2\\g(x)&=x^2+2x+1\end{align*}$
Contoh 5 (Ujian Nasional 2017 Matematika IPA)
Diketahui fungsi $f:R\to R$, dan $g:R\to R$ dengan $g(x)=-x+3$ dan $(f\circ g)(x)=4x^2-26x+32$, maka nilai $f(1)$ yaitu ....
A. $-5$
B. $-4$
C. $-3$
D. $3$
E. $4$
Pembahasan:
Perhatikan bahwa $(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$, untuk mencari nilai $f(1)$ kita perlu menciptakan $g(x)=1$.
$\begin{align*}g(x)&=-x+3\\1&=-x+3\\x&=3-1\\x&=2\end{align*}$
Jadi $g(2)=1$
$\begin{align*}f(g(x))&=4x^2-26x+32 \\ f(g(2))&=4(2)^2-26(2)+32\\f(1)&=4(4)-52+32\\&=16-20\\&=-4\end{align*}$
Contoh 6 (Ujian Nasional 2018 Matematika IPA - HOTS)
Untuk menambah uang saku, Didi berniat membantu kakaknya berjualan makanan. Didi akan mendapatkan uang saku menurut jumlah masakan yang terjual pada hari tersebut dengan fungsi $P(x)=1.000x+200$, dengan $P$ yaitu uang saku dalam rupiah dan $x$ yaitu jumlah masakan yang terjual. Ternyata, jumlah masakan yang terjual tergantung pada waktu yang dipakai Didi untuk berjualan dengan $x=f(t)=3t+2$, dengan $t$ yaitu waktu dalam jam. Uang saku yang diperoleh Didi kalau ia berjualan selama 3 jam suatu hari libur yaitu ....
A. Rp11.500,00
B. Rp11.200,00
C. Rp10.500,00
D. Rp10.200,00
E. Rp9.500,00
Pembahasan:
$\begin{align*}P(f(t)))&=1.000(3t+2)+200\\&=3.000t+2.000+200\\&=3.000t+2.200\end{align*}$
untuk $t=3$
$\begin{align*}P(f(3))&=3.000(3)+2.200\\&=9.000+2.200\\&=11.200\end{align*}$
Contoh 7 (SBMPTN 2016 Kode 317)
Perhatikan tabel berikut
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $5$
Pembahasan:
Dari tabel kita peroleh:
$g(1)=0$, $f(0)=1$, $g(2)=1$, $f(1)=3$, dan $g(3)=2$
Maka:
$\begin{align*}(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)&=f(g(1))+g(f(g(2)))\\&=f(0)+g(f(1))\\&=1+g(3)\\&=1+2\\&=3\end{align*}$
Belum ada Komentar untuk "Memahami Komposisi Fungsi - Matematika Wajib Kelas 10 Kurikulum 2013"
Posting Komentar